Question

设函数f（x）是实数集R上的增函数，令F（x）=f（x）-f（2-x）．
（Ⅰ）判断并证明F（x）在R上的单调性；
（Ⅱ）若F（a）+F（b）＞0，求证：a+b＞2．

Answer

（Ⅰ）用单调性的定义来证明F（x）是增函数，基本步骤是：一取值，二作差（商），三判定，四结论；
（Ⅱ）由F（a）+F（b）＞0得F（a）＞-F（b），由F（x）=f（x）-f（2-x）变形-F（b），得F（2-b），即F（a）＞F（2-b），从而证出结论．
解；（Ⅰ）F（x）在R上是增函数，现证明如下：任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则
F（x1）-F（x2）=[f（x1）-f（2-x1）]-[f（x2）-f（2-x2）]=[f（x1）-f（x2）]+[f（2-x2）-f（2-x1）]；
∵f（x）是实数集R上的增函数，且x1＜x2，则f（x1）-f（x2）＜0，由x1＜x2，得-x1＞-x2，∴2-x1＞2-x2，∴f（2-x1）＞f（2-x2），∴f（2-x2）-f（2-x1）＜0，
∴[f（x1）-f（x2）]+[f（2-x2）-f（2-x1）]＜0；即F（x1）＜F（x2）；∴F（x）是R上的增函数．
（Ⅱ）证明：∵F（a）+F（b）＞0，∴F（a）＞-F（b）；
由F（x）=f（x）-f（2-x）知，-F（b）=-[f（b）-f（2-b）]=f（2-b）-f（b）=f（2-b）-f[2-（2-b）]=F（2-b），∴F（a）＞F（2-b）；
又F（x）是实数集R上的增函数，所以a＞2-b，即a+b＞2．