Question

设函数f（x）=ax³-2bx²+cx+4d（a、b、c、d∈R）图象关于原点对称，且x=1时，f（x）取极小值．
（1）求a、b、c、d的值；
（2）当x∈[-1，1]时，图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论．

Answer

（1）由函数f（x）图象关于原点对称，知对任意实数x有f（-x）=-f（x），由此能求出f（x）的解析式．
（2）由（1）中函数解析式，求出函数的导函数，是否存在x1，x2∈[-1，1]，使f'（x1）•f'（x2）═-1，进而得到结论．
解． （1）∵函数f（x）图象关于原点对称，
∴对任意实数x有f（-x）=-f（x），
∴-ax3-2bx2-cx+4d=-ax3+2bx2-cx-4d，
即bx2-2d=0恒成立
∴b=0，d=0，
∴f（x）=ax3+cx，
f'（x）=3ax2+c，
∵x=1时，f（x）取极小值，
∴3a+c=0且a+c=，
解得a=，c=-1，
∴f（x）=x3-x．
（2）由（1）得f'（x）=x2-1，
当x∈[-1，1]时，f'（x）∈[-1，0]
当且仅当x=0时，f'（x）=-1
故∀x1，x2∈[-1，0]
f'（x1）•f'（x2）≥0恒成立，
即f'（x1）•f'（x2）≠-1恒成立，
故当x∈[-1，1]时，图象上不存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直