Question

已知无穷数列{a_n}为等差数列，各项均为正数，给出方程a_ix²+2a_i+1x+a_i+2=0（i=1，2，3，…）．
（1）求证这些方程有一个公共根为-1；
（2）设这些方程除公共根以外的另一根为α_i，且f（n）=（α₁+1）（α₂+1）+（α₂+1）（α₃+1）+…+（α_n+1）（α_n+1+1）．求证：f（n）＜．（其中d为数列{a_n}的公差）

Answer

（1）利用等差数列的性质可得ai+ai+2=2ai+1，x=-1代入所给方程可证明；
（2）由韦达定理可得，由此可得ai，进而可用ai，d表示ai+1，则，用裂项相消法可得f（n），从而可证明；
（1）证明：因为{an}为等差数列，所以ai+ai+2=2ai+1，
将x=-1代入所给方程，得ai-2ai+1+ai+2=0（i=1，2，3，…）．
所以这些方程有一个公共根为-1；
（2）∵，∴，
∴，
∴（α1+1）（α2+1）+（α2+1）（α3+1）+…+（αn+1）（αn+1+1）
=＜4d•=，即；