Question

已知数列{a_n}满足2a_n+1=a_n+a_n+2（n=1，2，3，…），它的前n项和为S_n，且a₃=5，S₆=36．
（1）求a_n；
（2）已知等比数列{b_n}满足b₁+b₂=1+a，b₄+b₅=a³+a⁴（a≠-1），设数列{a_n•b_n}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer

（1）由2an+1=an+an+2判断出数列{an}是等差数列，将a3=5，S6=36用基本量表示得到关于首项、公差的方程组，求出首项、公差，利用等差数列的通项公式求出an；
（2）将b1+b2=1+a，b4+b5=a3+a4两个式子作商求出公比，利用等比数列的通项公式求出通项，由于anbn=（2n-1）an-1．所以利用错位相减的方法求出数列{an•bn}的前n项和为Tn．
【解析】
（1）由2an+1=an+an+2得an+2-an+1=an+1-an，
则数列{an}是等差数列．                 …（2分）
∴⇒
因此，an=2n-1．                    …（5分）
（2）设等比数列{bn}的公比为q，
∵=，
∴q=a．
由b1+b2=1+a，得b1（1+a）=1+a．
∵a≠-1，
∴b1=1．
则bn=b1qn-1=an-1，anbn=（2n-1）an-1．   …（7分）
Tn=1+3a+5a2+7a3+…+（2n-1）an-1…①
当a≠1时，aTn=a+3a2+5a3+7a4+…+（2n-1）an…②
由①-②得（1-a）Tn=1+2a+2a2+2a3+…+2an-1-（2n-1）an
=，
．       …（10分）
当a=1时，Tn=n2．                 …（12分）