Question

定义在R上的偶函数f（x）满足f（x-1）是奇函数，则f（2009）=（ ）
A．0
B．2008
C．2009
D．-2008

Answer

由f（x-1）是奇函数，得到f（-x-1）=-f（x-1），利用函数f（x）是偶函数得到f（-x-1）=-f（x-1）=f（x+1），从而得到函数的周期，利用周期性和奇偶性，进行求值即可．
【解析】
因为f（x-1）是奇函数，得到f（-x-1）=-f（x-1），又函数f（x）是偶函数，所以f（-x-1）=-f（x-1）=f（x+1），
即f（x+2）=-f（x），所以f（x+4）=f（x），即函数的周期是4．
所以f（2009）=f（2008+1）=f（1），当x=-1时．f（-1+2）=-f（-1），即f（1）=-f（1），所以f（1）=0．
所以 f（2009）=0，
故选A．