Question

已知S_n是数列{a_n}的前n项和，若a₁=1，a₂=3，a_n+2=2a_n+1-a_n+2（n=1，2，…），则S_n=    ．

Answer

由an+2=2an+1-an+2（n=1，2，…），变形为an+2-an+1=an+1-an+2，令bn=an+1-an，则bn+1=bn+2，利用等差数列的通项公式即可得出bn．可得an+1-an=2n，利用“累加求和”公式an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1即可得出an．进而利用及其等差数列的前n项和公式即可得出Sn．
【解析】
∵an+2=2an+1-an+2（n=1，2，…），∴an+2-an+1=an+1-an+2，
令bn=an+1-an，则bn+1=bn+2，
∴数列{bn}是以b1=a2-a1=3-1=2为首项，2为公差的等差数列．
∴bn=2+（n-1）×2=2n．
∴an+1-an=2n，
∴an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1
=2（n-1）+2（n-2）+…+2×1+1
=
=n2-n+1．
∴Sn=（12+22+…+n2）-（1+2+…+n）+n
=+n
=．
故答案为．