Question

在公差不为零的等差数列{a_n}中，a₁=1，且a₂，a₅，a₁₄成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=（-1）^n-1a_n²，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer

（1）设公差为d，由a2，a5，a14成等比数列，可得d的方程，解出d后利用等差数列的通项公式可得an；
（2）由bn=（-1）n-1an2=（-1）n-1（2n-1）2知，+…+（-1）n-1（2n-1）2，分n为偶数，n为奇数两种情况进行讨论，利用并项求和可得结果；
【解析】
（1）设数列{an}的公差为d（d≠0），则，
又a1=1，∴d2-2d=0，
∵d≠0，∴d=2，
故an=2n-1；
（2）由bn=（-1）n-1an2=（-1）n-1（2n-1）2知，+…+（-1）n-1（2n-1）2，
①当n=2k（k∈N*）时，+…+[（4k-3）2-（4k-1）2]
=-2[4+12+20+…+（8k-4）]=-8k2=-2n2；
②当n=2k-1（k∈N*）时，+…+[（4k-3）2-（4k-1）2]
+（4k-1）2=-8k2+（4k-1）2=-2（n+1）2+[2（n+1）-1]2=2n2-1；
综上所述（n∈N*）．