Question

如图所示，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）求证：MN⊥CD；
（3）若∠PDA=45°，求证：平面BMN⊥平面PCD．

Answer

（1）取PD 的中点E，连接AE、EN，根据三角形中位线的性质，我们可得四边形AMNE为平行四边形，即MN∥AE，进而根据线面平行的判定定理得到MN∥平面PAD．
（2）由已知中PA⊥矩形ABCD所在的平面，根据线面垂直的性质及矩形的性质，可得PA⊥AB，AD⊥AB，由线面垂直的判定定理得AB⊥平面PAD，结合线面垂直的判定定理及性质，即可得到MN⊥CD；
（3）由已知中PA⊥矩形ABCD所在的平面，∠PDA=45°，E 是PD 的中点，可得MN⊥PD，MN⊥CD，由线面线面垂直的判定定理得MN⊥平面PCD，再由面面垂直的判定定理可得面BMN⊥平面PCD．
证明：（1）如图所示，取PD 的中点E，连接AE、EN，
则有EN===AM，EN∥CD∥AB∥AM，
故AMNE 是平行四边形，
∴MN∥AE，
∵AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，
∴MN∥平面PAD．
（2）∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥AB，又AD⊥AB，
∴AB⊥平面PAD，
∴AB⊥AE，即AB⊥MN，
又CD∥AB，
∴MN⊥CD．
（3）∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥AD，又∠PDA=45°，E 是PD 的中点，
∴AE⊥PD，即MN⊥PD，
又MN⊥CD，
∴MN⊥平面PCD，
∵MN⊂平面BMN
∴平面BMN⊥平面PCD．