Question

求证：△ABC是等边三角形的充要条件是a²+b²+c²=ab+bc+ca，这里a，b，c是△ABC的三条边．

Answer

本题要证明一个条件是另一个条件的充要条件，这种题目的证明，要从两个方面来证明，即证明充分性，也要证明必要性，注意条件的等式的整理成完全平方的形式．
证明：（1）充分性：如果a2+b2+c2=ab+bc+ca，
则a2+b2+c2-ab-bc-ca=0
所以（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0
所以（a-b）=0，（b-c）=0，（c-a）=0．
即a=b=c．
所以△ABC是等边三角形．
（2）必要性：如果△ABC是等边三角形，则a=b=c．
所以（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0
所以a2+b2+c2-ab-bc-ca=0
所以a2+b2+c2=ab+bc+ca
综上可知：△ABC是等边三角形的充要条件是a2+b2+c2=ab+bc+ca．