Question

已知斜率为1的直线l与双曲线C：（a＞0，b＞0）交于BD两点，BD的中点为M（1，3）．
（Ⅰ）求C的离心率；
（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|•|BF|=17，证明：过A、B、D的圆与x轴相切．

Answer

（Ⅰ）由题意得到直线l的方程，和双曲线方程联立后得到关于x的一元二次方程，利用根与系数关系得到两个交点的横坐标的和与积，再利用中点坐标公式得到a与b的关系，结合隐含条件可求C的离心率；
（Ⅱ）由（Ⅰ）把C的方程用含有a的代数式表示，求出|BF|和|DF|的长度，由|DF|•|BF|=17可求得a的值，由弦长公式求出|BD|，结合提议可得结论．
（Ⅰ）由题设知，l的方程为：y=x+2，
代入C的方程，并化简，得（b2-a2）x2-4a2x-4a2-a2b2=0，
设B（x1，y1），D（x2，y2），
则，  ①
由M（1，3）为BD的中点知，，故
即b2=3a2  ②
故c=，所以C的离心率e=；
（Ⅱ）由①②知，C的方程为：3x2-y2=3a2，
A（a，0），F（2a，0），
故不妨设x1≤-a，x2≥a．
，
，

又|DF|•|BF|=17，
故5a2+4a+8=17，
解得a=1，或a=-（舍去），
故，
连结MA，则由A（1，0），M（1，3）知|MA|=3，
从而MA=MB=MD，且MA⊥x轴，因此以M为圆心，MA为半径的圆经过A、B、D三点，且在点A处与x轴相切，
∴过A、B、D三点的圆与 轴相切．