Question

已知数列{a_n}的首项为a₁=1，其前n项和为s_n，且对任意正整数n有：n、a_n、S_n成等差数列．
（1）求证：数列{S_n+n+2}成等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer

（1）由n、an、Sn成等差数列，可得2an=n+Sn，所以2（Sn-Sn-1）=n+Sn，由此可得结论；
（2）先求数列{Sn+n+2}的通项，即可求得结论．
（1）证明：∵n、an、Sn成等差数列
∴2an=n+Sn，
∴2（Sn-Sn-1）=n+Sn，
∴Sn+n+2=2[Sn-1+（n-1）+2]
∴
∴{Sn+n+2}成等比数列
（2）【解析】
由（1）知{Sn+n+2}是以S1+3=a1+3=4为首项，2为公比的等比数列
∴
又2an=n+Sn，∴
∴