Question

如图，三棱柱A₁B₁C₁-ABC的三视图，主视图和侧视图是全等的矩形，俯视图是等腰直角三角形，点M是A₁B₁的中点．
（I）求证：B₁C∥平面AC₁M；
（II）求证：平面AC₁M⊥平面AA₁B₁B．

Answer

（I）由三视图确定直观图的形状，连接A1C，设A1C∩AC1=O，连接MO，证明MO∥B1C，利用线面平行的判定，可得B1C∥平面AC1M；
（II）先证明C1M⊥平面AA1B1B，再证明平面AC1M⊥平面AA1B1B．
证明：（I）由三视图可知三棱柱A1B1C1-ABC为直三棱柱，底面是等腰直角三角形且∠ACB=90°，连接A1C，设A1C∩AC1=O．连接MO，由题意可知A1O=CO，A1M=B1M，所以MO∥B1C．
∵MO⊂平面AC1M，B1C⊄平面AC1M
∴B1C∥平面AC1M；
（II）∵A1C1=B1C1，点M是A1B1的中点
∴C1M⊥A1B1，
∵平面A1B1C1⊥平面AA1B1B，平面A1B1C1∩平面AA1B1B=A1B1，
∴C1M⊥平面AA1B1B
∵C1M⊂平面AC1M
∴平面AC1M⊥平面AA1B1B．