Question

如图，某开发区旁边有一条东北走向的公路l，开发区内有两工厂A，B（B在A正东4km），A工厂到公路l的距离为．建立适当的坐标系，解决下列问题：
（Ⅰ）求公路l所在直线的方程；
（Ⅱ）在公路l上有一站点M到A，B两工厂路程之和最小，现要建一条经过M的环行公路，使公路上每一点到A，B两工厂路程之和相等，求环行公路所在曲线的方程；
（Ⅲ）开发区内有一物资储藏库C位于B工厂西北距B工厂，在（Ⅱ）中的环行公路上设一站点N，使站点N到C，B两地的距离之和最小．试问：满足要求的点N在什么位置（不要证明），并求|NC|+|NB|的值．

Answer

（Ⅰ）以A，B所在直线为x轴，中点为原点，建立直角坐标系，则A（-2，0），B（2，0），设直线l的方程：y=x+m，由点A到l的距离为可得关于m的方程．解出m后即得l的方程；
（Ⅱ）设P（x，y）设所求曲线上任意一点，则由题意知点P（x，y）的轨迹是以A，B为焦点，且长轴最短的椭圆．设此椭圆的方程为，则方程组有唯一解，消元后
令△=0可得b2=4，进而得a2=8；
（Ⅲ）由题意知C（1，1），在（Ⅱ）中的环行公路上设一站点N，使站点N到C，B两地的距离之和最小，即在上求一点N，使|NC|+|NB|最小．当N为直线lAC：x-3y+2=0与椭圆交点之一时，|NC|+|NB|最小，通过解方程组可得求；
【解析】
以A，B所在直线为x轴，中点为原点，建立直角坐标系，则A（-2，0），B（2，0），
（Ⅰ） 设直线l的方程：y=x+m，则由题意知m＞2，直线l在点A的右上方，
，
由m＞2得，∴直线l的方程：；
（Ⅱ）设P（x，y）设所求曲线上任意一点，则由题意知点P（x，y）的轨迹是以A，B为焦点，且长轴最短的椭圆．
设此椭圆的方程为，则方程组有唯一解，
，，
△=48b4+8b2（b2-8）（b2+2）=4b2（b4-16）=0，b2=4，a2=8，
所求椭圆的方程为；
（Ⅲ）由题意知C（1，1），
在（Ⅱ）中的环行公路上设一站点N，使站点N到C，B两地的距离之和最小，
即在上求一点N，使|NC|+|NB|最小．
显然，当N为直线lAC：x-3y+2=0与椭圆交点之一时，|NC|+|NB|最小，
由方程组，得（3y-2）2+2y2-8=11y2-12y-4=0，
解得或，
当时，，