Question

已知函数f（x）=（2ax²-2x+1）e^-2x
（1）若a=2，求函数f（x）的极大值和极小值；
（2）若f（x）在区间（2，3）上单调递减，求a的取值范围．

Answer

（1）先求出函数的导数，令导数等于0求出导数的零点，再令导数大于0求出单调增区间，导数小于0求出函数的减区间，再由极值的定义，导数零点左增右减为极大值点，左减右增为极小值点，求出相应极值即可；
（2）先求出f（x）的导数，由于f（x）在区间（2，3）上单调递减，则f′（x）＜0在区间（2，3）上恒成立，即恒成立，即得a的范围．
【解析】
（1）当a=2时，f（x）=（4x2-2x+1）e-2xf'（x）=-4（2x2-3x+1）e-2x=-4（x-1）（2x-1）e-2x…（3分）
令f'（x）=0∴
当x=1时，f（x）有极大值3e-2；当有极小值e-1…（6分）
（2）f'（x）=-4[ax2-（a+1）x+1]e-2x，
令f'（x）＜0，ax2-（a+1）x+1=（ax-1）（x-1）＞0
对x∈（2，3）恒成立，…（9分）
即ax-1＞0对x∈（2，3）恒成立，亦即恒成立
而故．…（14分）