Question

如图，已知点F（1，0），直线l：x=-1，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，若．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点M（-1，0）作直线m交轨迹C于A，B两点．
（Ⅰ）记直线FA，FB的斜率分别为k₁，k₂，求k₁+k₂的值；
（Ⅱ）若线段AB上点R满足，求证：RF⊥MF．

Answer

（1）设点P（x，y），则Q（-1，y），利用数量积即可．
（2）（Ⅰ）由题意直线m斜率存在且不为0，设直线m：y=k（x+1）与抛物线方程联立，利用根与系数的关系和斜率计算公式即可得出k1+k2．
（Ⅱ）设动点R（x，y），利用，即可得出x，进而即可证明RF⊥MF．
【解析】
（1）设点P（x，y），则Q（-1，y），
由（x+1，0）•（2，-y）=（x-1，y）•（-2，y），
化简得C：y2=4x．
（2）（Ⅰ）由题意直线m斜率存在且不为0，
设直线m：y=k（x+1）与抛物线方程联立
得k2x2+（2k2-4）x+k2=0
∵，∴-1＜k＜1且k≠0．
设．
∴
=．
（Ⅱ）设动点R（x，y），∵，∴，化为==1．
∴R（1，yR），而F（1，0），∴=（0，-yR）•（2，0）=0．
∴RF⊥MF．