Question

已知函数f（x）=kx³-3（k+1）x²-k²+1，若f（x）的单调减区间是（0，4），则在曲线y=f（x）的切线中，斜率最小的切线方程是    ．

Answer

f（x）的单调减区间是（0，4），即f'（x）＜0的解集为（0，4），从而解出k=1．由此可得f'（x）=3x2-12x在x=2时有最小值为-12，即得斜率的最小值为-12，再求出切点纵坐标并结合直线方程的点斜式列式，可求出斜率最小的切线方程．
【解析】
∵f（x）=kx3-3（k+1）x2-k2+1，∴f'（x）=3kx2-6（k+1）x．
由f'（x）=0解得：x=0或，
∵f（x）的单调减区间是（0，4），
∴f'（x）=3kx2-6（k+1）x＜0的解集为（0，4）
因此可得：k＞0且=4，解之得k=1
∴f（x）=x3-6x2．可得f'（x）=3x2-12x=3（x-2）2-12
由此可得，当x=2时，f'（x）的最小值为f'（2）=-12
∴切线斜率的最小值为-12，此时的切点坐标为（2，-16）
可得斜率最小的切线方程为y-（-16）=-12（x-2），化简得12x+y-8=0．
故答案为：12x+y-8=0．