Question

如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BB₁，AC₁⊥平面A₁BD，D为AC的中点．
（1）求证：B₁C∥平面A₁BD；
（2）求证：B₁C₁⊥平面ABB₁A₁；
（3）设E是CC₁上一点，试确定E的位置使平面A₁BD⊥平面BDE，并说明理由．

Answer

（1）连接AB1与A1B相交于M，由三角形中位线定理，我们易得B1C∥MD，结合线面平行的判定定理，易得B1C∥平面A1BD；
（2）由于已知的几何体ABC-A1B1C1为直三棱柱，结合AB=BB1，AC1⊥平面A1BD，根据正方形的几何特征，我们易得到AB1⊥B1C1，BB1⊥B1C1，根据线面垂直的判定定理，即可得到B1C1⊥平面ABB1A1；
（3）由图可知，当点E为CC1的中点时，平面A1BD⊥平面BDE，由已知易得DE∥AC1，结合AC1⊥平面AB1D，我们易得到DE⊥平面AB1D，进而根据面面垂直的判定定理得到结论．
【解析】
（1）证明：连接AB1与A1B相交于M，

则M为A1B的中点，连接MD，
又D为AC的中点，
∴B1C∥MD，
又B1C⊄平面A1BD，
∴B1C∥平面A1BD．（4分）
（2）∵AB=BB1，
∴四边形ABB1A1为正方形，
∴AB1⊥A1B，
又∵AC1⊥面A1BD，
∴AC1⊥A1B，
∴A1B⊥面AB1C1，
∴A1B⊥B1C1，
又在直棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥B1C1，
∴B1C1⊥平面ABB1A1．（8分）
（3）当点E为CC1的中点时，
平面A1BD⊥平面BDE，
∵D、E分别为AC、CC1的中点，
∴DE∥AC1，
∵AC1⊥平面AB1D，
∴DE⊥平面AB1D，又DE⊂平面BDE，
∴平面AB1D⊥平面BDE．（14分）