Question

已知二次函数g（x）的图象经过坐标原点，且满足g（x+1）=g（x）+2x+1，设函数f（x）=mg（x）-ln（x+1），其中m为非零常数
（1）求函数g（x）的解析式；
（2）当-2＜m＜0时，判断函数f（x）的单调性并且说明理由；
（3）证明：对任意的正整数n，不等式恒成立．

Answer

（1）设出g（x）=ax2+bx+c，由g（x）图象过原点顶点c=0，根据g（x+1）=g（x）+2x+1求出a和b即可顶点g（x）的解析式；
（2）求出f（x）的定义域和其导函数，利用二次函数求出导函数的最大值小于0即导函数恒小于0，得到函数单调递减；
（3）取m=1，得到f（x）的解析式，然后设h（x）=x3-f（x）=x3-x2+ln（x+1），求出h′（x）得到其恒大于0，h（x）在
（0，+∞）为增函数即h（x）大于h（0）=0，即可得到ln（x+1）＞x2-x3恒成立，令x=（n为正整数）得证．
【解析】
（1）设g（x）=ax2+bx+c，g（x）的图象经过坐标原点，所以c=0．
∵g（x+1）=g（x）+2x+1∴a（x+1）2+b（x+1）=ax2+bx+2x+1
即：ax2+（2a+b）x+a+b=ax2+（b+2）x+1
∴a=1，b=0，g（x）=x2；
（2）函数f（x）=mx2-ln（x+1）的定义域为（-1，+∞）．，
令k（x）=2mx2+2mx-1，，，
∵-2＜m＜0，∴，k（x）=2mx2+2mx-1＜0在（-1，+∞）上恒成立，
即f′（x）＜0，当-2＜m＜0时，函数f（x）在定义域（-1，+∞）上单调递减．
（3）当m=1时，f（x）=x2-ln（x+1）．，令h（x）=x3-f（x）=x3-x2+ln（x+1），
则在[0，+∞）上恒正，
∴h（x）在[0，+∞）上单调递增，当x∈（0，+∞）时，恒有h（x）＞h（0）=0．，
即当x∈（0，+∞）时，有x3-x2+ln（x+1）＞0，ln（x+1）＞x2-x3，
对任意正整数n，取得．