Question

一袋中装有4n只红球和n只黑球（所有球的形状、大小都相同），每一次从袋中摸出两只球，且每次摸球后均放回袋中．现规定：摸出的两只球颜色不同则为中奖．设三次摸球恰有一次中奖的概率为P，则当n=    时，使得P最大．

Answer

根据题意，设某一次中奖的概率为q，由古典概型公式和组合数公式可将q用n表示出来，进而由n次独立重复试验恰有k次发生的公式将p用q表示，分析可得q=时，p最大；
进而可得=，解可得n的值，即可得答案．
【解析】
根据题意，设某一次中奖的概率为q，
在4n只红球和n只黑球任取2只有C5n2种取法，若摸出的两只球颜色不同即一红一黑有C4n1×Cn1种情况，
则q==；
若三次摸球恰有一次中奖，
则P=C31q•（1-q）2=3q（1-q）2=[（2q）（1-q）（1-q）]，
分析可得，当2q=1-q，即q=时，p最大；
若q==，解可得n=5；
即n=5时，p最大；
故答案为5．