Question

已知f（x）=log₂ （-1＜x＜1）．
（1）若f（a）+f（b）=0，求证：a+b=0；
（2）设，求x的值；
（3）设x₁、x₂∈（-1，1），是否存在x₃∈（-1，1），使得f（x₁）+f（x₂）=f（x₃），若存在，求出x₃，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）利用对数的性质通过f（a）+f（b）=0，化简即可得到a+b=0；
（2）通过化简方程，，即可直接求出x的值；
（3）通过f（x1）+f（x2）=f（x3），直接求出x3，然后利用分析法证明结论．
【解析】
（1）证明：由f（a）+f（b）=0得，
，∴（1-a）（1-b）=（1+a）（1+b），化简得a+b=0．…（4分）
（2）【解析】
，，，
由得，解得．…（8分）
（3）【解析】
假设存在x3∈（-1，1）使得f（x1）+f（x2）=f（x3），…（9分）
∵，，
∴，解得，…（12分）
下证，
先用分析法证明，∵x1、x2∈（-1，1），∴1+x1x2＞0．
要证明，即要证x1+x2＜1+x1x2，即要证（1-x1）（1-x2）＞0，
∵x1、x2∈（-1，1），∴1+x1＞0，1+x2＞0，（1-x1）（1-x2）＞0，
同理可证，…（15分）
所以存在，使得f（x1）+f（x2）=f（x3）．…（16分）