Question

已知函数f（x）=2x³-2x²+x+．
（1）求证：f（x）在R上是增函数；
（2）设a₁=0，a_n+1= （n∈N₊），b₁=，b_n+1= （n∈N₊）．
①用数学归纳法证明：0＜a_n＜b_n＜（n＞1，n∈N）；
②证明：b_n+1-a_n+1＜ （n∈N）．

Answer

（1）通过函数的导数，判断导函数的正负，然后证明f（x）在R上是增函数；
（2）利用a1=0，an+1= （n∈N+），b1=，bn+1= （n∈N+）．
①直接利用数学归纳法证明的步骤证明：0＜an＜bn＜（n＞1，n∈N）；
②利用放缩法证明：bn+1-an+1＜ （n∈N）．
证明：（1），
∴f（x）在R上是增函数．…（4分）
（2）①用数学归纳法证明.1当n=2时，，，
∴，不等式成立．…（6分）
2假设n=k（k＞1，k∈N）时不等式成立，即．
∵f（x）在R上是增函数，∴，
故，即，
∴n=k+1时不等式也成立．
由1、2得不等式对一切n＞1，n∈N都成立．…（10分）
②由①知，∴0＜an+bn＜1．
∴
=
=                      …（13分）

=．…（16分）