Question

已知实数a、b满足a-2b+3≥0，且使得函数无极值，则的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer

先求导数f′（x），根据函数f（x）无极值可得f′（x）=0至多有一实根，从而可得关于a，b的不等式，连同a-2b+3≥0可作出满足条件的点（a，b）构成的区域，的几何意义为两点（a，b），（-2，-1）间连线的斜率，利用线性规划知识即可求得斜率的最大值及最小值．
【解析】
f′（x）=x2+2ax+b，
因为函数f（x）无极值，所以有△=4a2-4b≤0，即a2≤b．
又a-2b+3≥0，则满足条件的点（a，b）构成的区域如下阴影所示：
由解得a=-1或，则两交点为（-1，1），（，），
的几何意义为两点（a，b），（-2，-1）间连线的斜率，
则斜率最大值为=2，
设过点（-2，-1）的切线方程为b+1=k（a+2）①，a2=b②，由①②消b得a2-ka-2k+1=0，则△=k2-4（-2k+1）=0，解得k=-4+2，-4-2（舍），
即斜率的最小值为-4+2．
所以的取值范围为[2-4，2]．
故选C．