Question

如图，在平面直角坐标系中，边长为a_n的一组正三角形A_nB_n-1B_n的底边B_n-1B_n依次排列在x轴上（B与坐标原点重合）．设{a_n}是首项为a，公差为d的等差数列，若所有正三角形顶点A_n在第一象限，且均落在抛物线y²=2px（p＞0）上，则的值为（ ）

A．1
B．
C．
D．

Answer

根据题意得，正三角形A1BB1的边长为a，利用正三角形的性质得出点A1的坐标，又点A1落在抛物线y2=2px（p＞0）上，则点A1的坐标适合抛物线方程，得到p=a；又{an}是首项为a，公差为d的等差数列，同理得到点A2的坐标且点A2落在抛物线y2=2px（p＞0）上，则有a=d，从而求出的值．
【解析】
由题意得，正三角形A1BB1的边长为a，
∴点A1的坐标为（，），
又∵点A1落在抛物线y2=2px（p＞0）上，则=2p×，
∴p=a，
又{an}是首项为a，公差为d的等差数列，a2=a+d，
即正三角形A2B1B2的边长为a+d，
∴点A2的坐标为（a+，），
又∵点A2落在抛物线y2=2px（p＞0）上，则=2p（a+），
化简得（a-d）（2a+d）=0，∵2a+d＞0，
∴a=d，
则的值为1．
故选A．