Question

已知函数（a为常数）
（1）当a=1时，求函数φ（x）=f（x）-g（x）的单调区间；
（2）若方程e^2f（x）=g（x）在区间[1，2]上有解，求实数a的取值范围．

Answer

（1）a=1时，表示出φ（x），求导数，在定义域内解不等式φ′（x）＜0，φ′（x）＞0即可；
（2）方程e2f（x）=g（x）可化为a=-x3+3x，令h（x）=-x3+3x，则问题转化为求函数h（x）的值域问题；
【解析】
（1）a=1时，φ（x）=f（x）-g（x）=lnx-3+（x＞0），
φ′（x）=-=，
当0＜x＜1时，φ′（x）＜0，φ（x）单调递减，当x＞1时，φ′（x）＞0，φ（x）单调递增，
所以φ（x）的单调减区间为（0，1），单调增区间为（1，+∞）．
（2）e2f（x）=g（x），即e2lnx=3-，x2=3-，则a=-x3+3x，
令h（x）=-x3+3x，则h′（x）=-3x2+3=-3（x+1）（x-1），
当x∈[1，2]时，h′（x）＜0，故h（x）在[1，2]上单调递减，
所以h（2）≤h（x）≤h（1），即-2≤h（x）≤2，
所以要使方程e2f（x）=g（x）在区间[1，2]上有解，须有a∈[-2，2]．
故实数a的取值范围为[-2，2]．