Question

如图所示，已知圆M：（x+1）²+y²=8及定点N（1，0），点P是圆M上一动点，点Q为PN的中点，PM上一点G满足
（1）求点G的轨迹C的方程；
（2）已知直线l：y=kx+m与曲线C交于A、B两点，E（0，1），是否存在直线l，使得点N恰为△ABE的垂心？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）利用椭圆的定义即可得出；
（2）利用垂心的性质可求出直线AB的斜率，把直线AB的方程与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系及垂心的性质即可求出直线AB的方程，进行判断即可．
【解析】
（1）由点Q为PN的中点，GQ⊥PN可得：|GP|=|GN|，∴|GM|+|GN|=|MP|=，而M（-1，0），N（1，0），|MN|=2．
∴|GM|+|GN|＞|MN|，∴点G的轨迹是以点M、N为焦点、2为长轴长的椭圆，其方程为．
（2）假设存在，如图所示：
∵，EN⊥AB，∴kAB=1，即k=1，
∴直线l的方程为y=x+m，设A（x1，y1），B（x2，y2）．
联立，消去y化为3x2+4mx+2m2-2=0，
∵直线l与椭圆C相较于不同的A、B两点，
∴△=16m2-12（2m2-2）＞0，化为．（*）
由根与系数的关系可得：，．（**）
∵=（1-x1，-y1），=（-x2，1-y2），
∴=x1x2-x2+y1y2-y1，
∵AN⊥BE，∴x1x2-x2+y1y2-y1=0，又y1=x1+m，y2=x2+m，
∴x1x2-x2+（x1+m）（x2+m）-（x1+m）=0，化为2x1x2+（m-1）（x1+x2）+m2-m=0，
把（**）代入得，化为3m2+m-4=0，
解得m=或1．
当m=1时，点E与B重合，应舍去．
又也满足（*），故．