Question

已知数列{b_n}满足b₁=1，b₂=5，b_n+1=5b_n-6b_n-1（n≥2），若数列{a_n}满足
（1）求证：数列{b_n+1-2b_n}为等比数列，并求数列{b_n}的通项公式；
（2）求证：．

Answer

（1）由{bn}满足b1=1，b2=5，bn+1=5bn-6bn-1（n≥2），知bn+1-2bn=3（bn-2bn-1），故{bn+1-2bn}成等比数列，由此能求出．
（2）由，n∈N*，推导出=，从而得到（1+）（1+）…（1+）=（）（）（）…（）=，n∈Z*．由此能够证明．
【解析】
（1）∵{bn}满足b1=1，b2=5，bn+1=5bn-6bn-1（n≥2），
∴bn+1-2bn=3（bn-2bn-1），故{bn+1-2bn}成等比数列，
∴bn+1-2bn=3n-1（b2-b1）=3n，
∴，
∴=2（），
∴bn-3n=2n-1（b1-3）=-2n，
∴．
（2），n∈N*，
∴an+1=+1=bn（），
∴==，
∴（1+）（1+）…（1+）=（）（）（）…（）
=•（）•（）…（）•（an+1）
=•（）
=
=，n∈Z*．
∵1-（）k≥，不等式左侧单调递增，右侧单调递减，当且仅当k=1时等式成立，
∴3k-2k≥（）k-1，
∴（）k-1，
∴≤==3，
∴．