Question

已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为．

（Ⅰ）求a，b的值；

（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有＝＋成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）P(，±)，x±y－＝0.

【解析】

试题分析：(Ⅰ) 先利用点到直线的距离公式求，再利用离心率求，最后利用参数的关系求；(Ⅱ)设点利用方程组消元后得根与系数关系，然后代入题中条件化简可求.

试题解析：(Ⅰ) 设F(c，0)，当l的斜率为1时，其方程为x－y－c＝0，

∴O到l的距离为，

由已知，得＝，∴c＝1．

由e＝＝，得a＝，b＝＝．              4分

（Ⅱ）假设C上存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有＝＋成立，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P(x1＋x2，y1＋y2)．

由（Ⅰ），知C的方程为＋＝1．

由题意知，l的斜率一定不为0，故不妨设l：x＝ty＋1．

由，消去x并化简整理，得(2t2＋3)y2＋4ty－4＝0．

由韦达定理，得y1＋y2＝－，

∴x1＋x2＝ty1＋1＋ty2＋1＝t(y1＋y2)＋2＝－＋2＝，

∴P(，－)．

∵点P在C上，∴＋＝1，

化简整理，得4t4＋4t2－3＝0，即(2t2＋3)(2t2－1)＝0，解得t2＝．

当t＝时，P(，－)，l的方程为x－y－＝0；

当t＝－时，P(，)，l的方程为x＋y－＝0．

故C上存在点P(，±)，使＝＋成立，此时l的方程为x±y－＝0．   13分

考点：椭圆的基本概念，点到直线的距离，根与系数关系，设而不求的思想.