Question

定义在R上的奇函数有最小正周期4，且时，。

（1）求在上的解析式；

（2）判断在上的单调性，并给予证明；

（3）当为何值时，关于方程在上有实数解？

Answer

（1）（２）在（0,2）上单调递减；（３）

【解析】

试题分析：（1）当时，，利用时，，可得，当时，由，可得，又的最小正周期4，可得，由此可求在[-2，2]上的解析式；（2）直接利用函数单调性的定义去求；（３）利用在（0,2）上单调递减和为奇函数，分别求出在、、上的范围,从而得出的取值范围.

试题解析：（1） 

                     1分

当时，，故       3分

                     4分

（2）任取，

        6分

因为故,,>0

   故在（0,2）上单调递减。            8分

（3）由（2）知：时， 

又为奇函数，时，

时，

综上：                 12分

考点：函数奇偶性的性质；函数解析式的求解及常用方法；函数的周期性，函数的单调性．