Question

如图，在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁，AB=AC=1，∠BAC=90°，连结A₁B与∠A₁BC=60°．

（Ⅰ）求证：AC⊥A₁B；

（Ⅱ）设D是BB₁的中点，求三棱锥D－A₁BC₁的体积．

Answer

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）借助直三棱柱的性质和线面垂直的性质定理证明平面，然后利用线面垂直的性质证明；（Ⅱ）证明是正三角形，由求解.

试题解析：(Ⅰ) 三棱柱是直三棱柱,

平面,.

 又,平面

平面,

平面,从而.       (4分)

（Ⅱ）连结，设，，

，从而是正三角形，

，，            （8分）

又为的中点.

.       （12分)

考点：三棱柱的性质，空间中的线线、线面垂直，三棱锥的体积.