Question

 已知函数，其中e为自然对数的底数，且当x>0时恒成立．

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）求实数a的所有可能取值的集合；

（Ⅲ）求证：.

Answer

（Ⅰ） 减区间是,增区间是；（Ⅱ）；（Ⅲ）详见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）确定定义域，求，由 求得增区间，由 求得减区间；（Ⅱ）利用在区间上，恒成立，则求解；（Ⅲ）利用构造法，构造新函数求解.

试题解析：(Ⅰ),,，

的减区间是,增区间是.                        (2分)

(Ⅱ)恒成立,即,

,恒成立.                               (3分)

设,,

由于在上是增函数,且,

时,是减函数,时,是增函数,

,从而若恒成立,必有.   (5分)

又,的取值集合为.                                (6分)

(Ⅲ)由(Ⅰ)知,,即,当且仅当时等号成立,

时,有.      

,                        (9分)

设,

则,

当时,是减函数,

当时,是增函数,

,即成立.                     (12分)

考点：导数法判断函数的单调性，恒成立，构造法.