Question

如图，在直三棱柱中，，，异面直线与所成

的角为.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）设是的中点，求与平面所成角的正弦值.

Answer

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由直三棱柱的性质证，再证明平面；（Ⅱ）用向量法求解.

试题解析：（Ⅰ）三棱柱是直三棱柱,

平面,.

又,平面，

平面，

平面，.                     （5分）

（Ⅱ）如图，

以点为原点，、、分别为、、轴正方向，线段长为单位长，

建立空间直角坐标系，设，则，，，

，，

 由于直线与所成的角为.

 ，解得，

,,设平面的法向量,

 ,可取.,.      (10分)

于是,

所以与平面所成角的正弦值为.                  (12分)

考点：三棱柱的性质，空间中的垂直问题，向量法求角.