Question

在平面直角坐标系中，已知定点A（－2，0）、B（2，0），异于A、B两点的动点P满足，其中k₁、k₂分别表示直线AP、BP的斜率．

（Ⅰ）求动点P的轨迹E的方程；

（Ⅱ）若N是直线x=2上异于点B的任意一点，直线AN与（I）中轨迹E交予点Q，设直线QB与以NB为直径的圆的一个交点为M（异于点B），点C（1，0），求证：|CM|·|CN|  为定值.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据斜率公式，有斜率乘积等于整理即得，注意；（Ⅱ）设直线的方程，与椭圆方程组成方程组，消去，由韦达定理求点的坐标，根据直线与以为直径的圆的另一个交点为，得，从而得到直线的方程，确定恒过的定点.证明三点共线,又是以为直径的圆的切线,由切割线定理可知,,即为定值.

试题解析：(Ⅰ)设,由得   ,其中,

整理得点的轨迹方程为.       (4分)

（Ⅱ）设点，则直线的方程为，

解方程组，消去得，

设，则，，

从而，又，

直线与以为直径的圆的另一个交点为，，

方程为,即,过定点,        (9分)

定值证法一:即三点共线,又是以为直径的圆的切线,由切割线定理可知,,为定值.                                  (12分)

定值证法二:直线:,直线:,  

联立得,, 

,为定值.       (12分)

考点：椭圆方程，直线与椭圆的关系，定点、定值问题.