Question

已知函数在点处的切线方程是x+ y－l=0，其中e为自然对数的底数，函数g（x）=1nx－ cx+ 1+ c（c>0），对一切x∈（0,+）均有恒成立．

（Ⅰ）求a，b，c的值；

（Ⅱ）求证：.

Answer

（Ⅰ）,,；（Ⅱ）详见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用导数的几何意义求、，利用导数导数法判断单调性，用函数的最值积恒成立求；（Ⅱ）构造新函数，利用导数法求的最小值，利用结合（Ⅰ）中的结论进行证明.

试题解析：（Ⅰ）,,,

,.                                   (2分)

,由于,

 所以当时,是增函数,

 当时,是减函数,

 ,

由恒成立，，即恒成立，①      （4分）

令，则，

在上是增函数，上是减函数，

，即，当且仅当时等号成立 .

，

 由①②可知，，所以.            (6分)

（Ⅱ）证法一:所求证不等式即为.

设,,

当时,是减函数,

当时,是减函数,

,即.              (8分)

由（Ⅰ）中结论②可知,,,当时,,

从而                    (10分)

.

(或者也可)

即,原不等式成立.                            (12分)

考点：导数法判断函数的单调性，恒成立，不等式的证明.