Question

如图1，在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若点B，P在直线a的异侧，BM⊥直线a于点M．CN⊥直线a于点N，连接PM，PN．

（1）延长MP交CN于点E（如图2）．

①求证：△BPM≌△CPE；

②求证：PM=PN；

（2）若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B，P在直线a的同侧，其它条件不变，此时PM=PN还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

（3）若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时，其它条件不变，请直接判断四边形MBCN的形状及此时PM=PN还成立吗？不必说明理由．

Answer

(1)结合三角形的边和角来证明全等同时得到线段的对应相等的证明。

(2) PM="PN" 成立，同样是借助于三角形的全等来证明。

(3) “四边形MBCN是矩形，则PM=PN成立”

【解析】

试题分析：（1）证明：①如图2：

∵BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，

∴∠BMN=∠CNM=90°，

∴BM∥CN，

∴∠MBP=∠ECP，

又∵P为BC边中点，

∴BP=CP，

又∵∠BPM=∠CPE，

∴△BPM≌△CPE，        3分

②∵△BPM≌△CPE，

∴PM=PE∴PM="1" 2 ME，

∴在Rt△MNE中，PN="1" 2 ME，     4分

∴PM=PN．

（2）【解析】
成立，如图3．

证明：延长MP与NC的延长线相交于点E，

∵BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，

∴∠BMN=∠CNM=90°∴∠BMN+∠CNM=180°，

∴BM∥CN∴∠MBP=∠ECP，     6分

又∵P为BC中点，

∴BP=CP，

又∵∠BPM=∠CPE，

∴△BPM≌△CPE，

∴PM=PE，

∴PM="1" 2 ME，

则Rt△MNE中，PN="1" 2 ME，

∴PM=PN．     8分

（3）【解析】
如图4，

四边形M′BCN′是矩形，

根据矩形的性质和P为BC边中点，得到△M′BP≌△N′CP，   9分

得PM′=PN′成立．即“四边形MBCN是矩形，则PM=PN成立”．   10分

考点：相似三角形