Question

在数列中，对于任意，等式：恒成立，其中常数．

（1）求的值；

（2）求证：数列为等比数列；

（3）如果关于的不等式的解集为，试求实数的取值范围．

Answer

（1），；（2）只需求出即可；（3）。

【解析】

试题分析：（Ⅰ） 因为，

所以，，

解得 ，．                3分

（Ⅱ）当时，由，   ①

得，           ②

将①，②两式相减，得,

化简，得，其中．         5分

因为，

所以，其中．           6分

因为 为常数，

所以数列为等比数列．            8分

（Ⅲ） 由（Ⅱ）得，                 9分

所以

，

又因为，所以不等式

可化简为，

∵，∴原不等式               11分

由题意知，不等式的解集为，

因为函数在上单调递增，

所以只要求 且即可，

解得．                 14分

考点：等比数列的性质；数列通项公式的求法；数列求和；数列的综合应用；恒成立问题；指数函数的单调性。