Question

已知实数，函数.

（I）讨论在上的奇偶性；

（II）求函数的单调区间；

（III）求函数在闭区间上的最大值。

Answer

（I）当时， 为奇函数；当时，为非奇非偶函数；

（II）函数的增区间，函数的减区间；

（III）当时， 的最大值是

当时，的最大值是。

【解析】

试题分析：（I）当时， ，因为，故为奇函数；

当时，为非奇非偶函数      2分

（II）当时，故函数的增区间       3分

当时，

故函数的增区间，函数的减区间     5分

（III）①当即时，，

当时，，的最大值是

当时，，的最大值是      7分

② 当即时，，，

，

所以，当时，的最大值是     9分

综上，当时， 的最大值是

当时，的最大值是       10分

考点：本题主要考查分段函数的奇偶性、单调性和最值问题的综合运用能力，考查数形结合、分类与整合思想。