Question

（本小题满分12分）

已知圆和直线，直线，都经过圆C外定点A(1，0)．

（Ⅰ）若直线与圆C相切，求直线的方程；

（Ⅱ）若直线与圆C相交于P，Q两点，与交于N点，且线段PQ的中点为M，

求证:为定值．

Answer

（Ⅰ），（Ⅱ）设直线方程为，由 得由 得

∴

为定值

【解析】

试题分析：（Ⅰ）①若直线的斜率不存在，即直线是，符合题意．    1分

②若直线斜率存在，设直线为，即．

由题意知，圆心（3，4）到已知直线的距离等于半径2，

即： ,解之得 ．     5分

所求直线方程是，．     6分

（Ⅱ）解法一：直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0,

可设直线方程为

由 得．     8分

再由 

得．

∴    得．      12分

∴  

为定值．    14分

解法二：直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0,可设直线方程为

由 得．     8分

又直线CM与垂直，

由 得．    10分

∴  

，为定值．     14分

解法三：用几何法，如图所示，△AMC∽△ABN，则，

可得，是定值．

考点：直线与圆的位置关系