Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面为等腰直角三角形，AC⊥BC，点D是AB的中点，侧面BB₁C₁C是正方形．

(1) 求证AC⊥B₁C；(2)求二面角B-CD-B₁平面角的正切值．

Answer

（1）要证明线线垂直，要通过线面垂直的性质定理来求解，主要是得到AC⊥平面BCC1B1。

（2）

【解析】

试题分析：证明：(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，

∴CC1⊥AC，

又AC⊥BC，BC∩CC1=C，

所以，AC⊥平面BCC1B1，

所以，AC⊥B1C．                          3分

(2)∵△ABC是等腰直角三角形，D为AB中点，

∴CD⊥AB

∵平面ABC⊥平面AA1B1B，平面ABC∩平面AA1B1B=AB，

∴CD ⊥平面AA1B1B，

∵B1D平面AA1B1B，BD平面AA1B1B，

∴CD⊥B1D，CD⊥BD，

∴∠B1DB是二面角B-CD-B1平面角，         6分

不妨设正方形BB1C1C的棱长为2a，则：

在RT△B1DB中，BD=a，BB1=2a，∠B1BD=90º

∴tan∠B1DB==.

∴所求二面角B-CD-B1平面角的正切值为.          8分

考点：二面角，线线垂直