Question

如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，现将△ ADE沿直线DE翻折成△A′DE，使平面A′DE⊥平面BCDE，F为线段A′D的中点．

(1)求证：EF//平面A′BC；

(2)求直线A′B与平面A′DE所成角的正切值．

Answer

（1）要证明线面平行，只要通过证明线线平行来得到即可。

（2）

【解析】

试题分析：【解析】
(1)证明：取A′C的中点M，连结MF，MB，则FM∥DC，且FM＝DC.

∵EB∥DC，且EB＝DC，

∴FM∥EB且FM=EB.

∴四边形EBMF为平行四边形，

∴EF∥MB.

∵EF平面A′BC，MB平面A′BC，

∴EF∥平面A′BC.                            4分

(2)过B作BO垂直于DE的延长线，O为垂足，连结A′O.

∵平面A′DE⊥平面BCDE，且平面A′DE∩平面BCDE＝DE，

∴BO⊥平面A′DE，

∴∠BA′O就是直线A′B与平面A′DE所成的角．       7分

过A′作A′S⊥DE，S为垂足，

因为平面A′DE⊥平面BCDE，且平面A′DE∩平面BCDE＝DE，

所以A′S⊥平面BCDE.

在Rt△A′SO中，A′S＝，SO＝2，所以A′O＝．

又BO＝，所以tan∠BA′O＝＝＝，

故直线A′B与平面A′DE所成角的正切值为．       10分

考点：直线与平面平行的判定定理