Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2， E,F，G分别是PC,PD,BC的中点．

(1)求三棱锥E-CGF的体积；

(2)求证：平面PAB//平面EFG；

Answer

（1）（2）对于面面平行的证明，一般要根据判定定理来得到，先证明EG//平面PAB．来说民结论。

【解析】

试题分析：(1)【解析】
∵PD⊥平面ABCD,

∴PD⊥BC.

又∵ABCD为正方形，

∴CD⊥BC,

∴BC⊥平面PCD即GC⊥平面CEF.

∴VE-CGF= VG-CEF=×S△CEF×GC=×(×1×1)×1=．      3分

(2)证明：E,F分别是线段PC,PD的中点，

∴EF//CD.

又ABCD为正方形，AB//CD，

∴EF//AB.

又EF平面PAB，

∴EF//平面PAB．

∵E,G分别是线段PC,BC的中点，

∴EG//PB.

又EG平面PAB，

∴EG//平面PAB．

∵EF∩EG=E,

∴平面PAB//平面EFG．                            6分

(3)Q为线段PB中点时，PC⊥平面ADQ．

取PB中点Q，连接DE,EQ,AQ，

∵EQ//BC//AD，

∴ADEQ为平面四边形，

由PD⊥平面ABCD，得AD⊥PD，

又AD⊥CD，PD∩CD=D，

∴AD⊥平面PDC，∴AD⊥PC，

又三角形PDC为等腰直角三角形，E为斜边中点，

∴DE⊥PC.

∵AD∩DE=D，

∴PC⊥平面ADQ．                       10分

考点：线面平行，体积