Question

设A(x_A,y_A)，B(x_B,y_B)为平面直角坐标系上的两点,其中x_A,y_A,x_B,y_BÎZ.令△x=x_B-x_A，△y=y_B-y_A,若|△x|+|△y|=3，且|△x|·|△y|≠0,则称点B为点A的“相关点”,记作：B=f(A).

(1)请问:点(0,0)的“相关点”有几个?判断这些点是否在同一个圆上,若在,写出圆的方程；若不在，说明理由；

(2)已知点H(9,3),L(5,3),若点M满足M=f(H),L=f(M),求点M的坐标；

(3)已知P₀(x₀,y₀)(x₀ÎZ,y₀ÎZ)为一个定点, 若点P_i满足P_i=f (P_i-1),其中i=1,2,3,···,n，求|P₀P_n|的最小值．

Answer

（1）x²+y²=5

（2）M(7,2)或M(7,4).

（3）当时, |P0Pn|的最小值为;

当n=2k,kÎN *时, |P0Pn|的最小值为0；

当n=2k+1,kÎN *时, |P0Pn|的最小值为1.

【解析】

试题分析：解: (1)因为|△x|+|△y|=3(|△x|,|△y|为非零整数),

故|△x|=1,|△y|=2或|△x|=2,|△y|=1,所以点(0,0)的“相关点”有8个 .

又因为(△x)²+(△y)²=5,即(△x-0)²+(△y-0)²="5" .

所以这些可能值对应的点在以(0,0)为圆心,为半径的圆上，

方程为x²+y²="5" .                     3分

(2)设M(xM,yM),

因为M=f(H),L=f(M),

所以有|xM-9|+|yM-3|="3," |xM-5|+|yM-3|=3,

所以|xM-9|=|xM-5|,所以xM=7, yM=2或yM=4,

所以M(7,2)或M(7,4).                6分

(3) 当n=1时,可知|P0Pn|的最小值为;

当n=2k,kÎN *时, |P0Pn|的最小值为0 ;

当n=3时,对于点P,按照下面的方法选择“相关点”,可得P3(x0,y0+1):

P0(x0,y0)→P1(x0+2,y0+1)→P2(x0+1,y0+3) →P3(x0,y0+1)

故|P0Pn|的最小值为1,

当n=2k+3, kÎN *时,对于点P,经过2k次变换回到初始点P0(x0,y0),然后经过3次变换回到Pn(x0,y0+1),故|P0Pn|的最小值为1.

综上,当时, |P0Pn|的最小值为;

当n=2k,kÎN *时, |P0Pn|的最小值为0；

当n=2k+1,kÎN *时, |P0Pn|的最小值为1.         10分

考点：圆的方程，两点距离