Question

如下图所示，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA₁＝4，点D是AB的中点．

(1)求证：AC⊥BC₁；

(2)求证：AC₁∥平面CDB₁；

(3)求异面直线AC₁与B₁C所成角的余弦值．

Answer

（1）先证明AC⊥平面BCC1B1，再根据性质即可证明

（2）先证明DE∥AC1，再根据线面平行的判定定理证明

（3）

【解析】

试题分析：(1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，

∴AC⊥BC.又∵C1C⊥AC.∴AC⊥平面BCC1B1.

∵BC1?平面BCC1B，∴AC⊥BC1.

(2)设CB1与C1B的交点为E，连接DE，又四边形BCC1B1为正方形．

∵D是AB的中点，E是BC1的中点，∴DE∥AC1.

∵DE?平面CDB1，AC1?平面CDB1，

∴AC1∥平面CDB1.

(3)∵DE∥AC1，∴∠CED为AC1与B1C所成的角．

在△CED中，ED＝AC1＝，CD＝AB＝，CE＝CB1＝2，

∴cos∠CED＝＝.

∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为.

考点：本小题主要考查线线垂直、线面平行的判定和两条异面直线所成的角的计算，考查学生的空间想象能力和运算求解能力.