Question

如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边，两个锐角,的终边分别与单位圆相交于A,B 两点．

（Ⅰ）若，，求的值；

（Ⅱ）若角的终边与单位圆交于点，设角的正弦线分别为

，试问：以作为三边的长能否构成一个三角形？若能，请加以证明；若不能，请说明理由.

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）以作为三边的长能构成一个三角形.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）∵0<α<，  tanα＝，∴cosα＝，sinα＝.

又∵0<β<，sinβ＝，∴0<2β<π，cos2β＝1－2sin2β＝，sin2β＝＝.

于是cos(α＋2β)＝cosαcos2β－sinαsin2β＝×－×＝.

由已知条件知0<α＋2β<π，∴α＋2β＝.  6分

（Ⅱ）【解析】
以作为三边的长能构成一个三角形，证明如下：

∵，∴ 

∴，，

∵，所以，，于是有：

①   8分

又∵，∴，于是有：

②

同理：③

由①②③可知，以作为三边的长能构成一个三角形. 12分

考点：同角间的三角函数关系及两角和的余弦公式