Question

如图，在五面体中，四边形是正方形，平面∥

（1）求异面直线与所成角的余弦值；

（2）证明：平面；

（3）求二面角的正切值。

Answer

（1）；（2）略；（3）。

【解析】

试题分析：（1）因为四边形ADEF是正方形，所以FA∥ED．

故∠CED为异面直线CE与AF所成的角．

因为FA⊥平面ABCD，所以FA⊥CD．故ED⊥CD．

在Rt△CDE中，CD=1，ED=2， CE= =3，故cos∠CED==．

所以异面直线CE和AF所成角的余弦值为。

（2）证明：过点B作BG∥CD，交AD于点G，

则∠BGA=∠CDA=45°．由∠BAD=45°，可得BG⊥AB，

从而CD⊥AB，又CD⊥FA，FA∩AB=A，所以CD⊥平面ABF；

（3）【解析】
由（Ⅱ）及已知，可得AG=，即G为AD的中点．

取EF的中点N，连接GN，则GN⊥EF，

因为BC∥AD，所以BC∥EF．

过点N作NM⊥EF，交BC于M，

则∠GNM为二面角B-EF-A的平面角．

连接GM，可得AD⊥平面GNM，故AD⊥GM．

从而BC⊥GM．由已知，可得GM=．

由NG∥FA，FA⊥GM，得NG⊥GM．

在Rt△NGM中，tan∠GNM= ，

所以二面角B-EF-A的正切值为．

考点：异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角的计算。