Question

设函数，给出下列四个命题：
①函数f（|x|）为偶函数；
②若|f（a）|=|f（b）|其中a＞0，b＞0，a≠b，则ab=1；
③函数f（-x²+2x）在（1，+∞）上为单调增函数；
④若0＜a＜1，则|f（1+a）|＜|f（1-a）|；
则正确命题的序号是    ．

Answer

由题设条件函数，根据对数的函数的性质对四个命题进行判断，得出正误
①函数f（|x|）为偶函数，由偶函数的定义进行判断正误；
②若|f（a）|=|f（b）|其中a＞0，b＞0，a≠b，则ab=1，由对数的性质进行推断即可判断此命题的正误；
③函数f（-x2+2x）在（1，+∞）上为单调增函数，由复合函数的单调性易判断；
④若0＜a＜1，则|f（1+a）|＜|f（1-a）|，对两个数作差比较出它们的大小，得出正误；
【解析】
∵
∴①函数f（|x|）为偶函数，此命题正确，因为此函数是一个偶函数，命题是正确命题；
②若|f（a）|=|f（b）|其中a＞0，b＞0，a≠b，则ab=1，此命题是正确命题，因为|f（a）|=|f（b）|其中a＞0，b＞0，a≠b，故有f（a）+f（b）=0，即，故有ab=1；
③函数f（-x2+2x）的定义域是（0，2），故复合函数f（-x2+2x）在（1，+∞）上为单调增函数错；
④若0＜a＜1，则|f（1+a）|＜|f（1-a）|，此命题，因为由题意f（1+a）＜0，f（1-a）＞0，若有|f（1+a）|＜|f（1-a）|成立，则f（1+a）+f（1-a）＞0，即f（1-a2）＞0，即1-a2∈（0，1）显然成立；
综上①②④都是正确命题
故答案为①②④