Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PB，PD与平面ABCD所成角的正切值依次是1和，AP=2，E，F依次是PB，PC的中点．
（Ⅰ）求证：PB⊥平面AEFD；
（Ⅱ）求直线EC与平面PAD所成角的正弦值．

Answer

（I）由PA⊥平面ABCD，得AD⊥PA，结合AD⊥AB，得AD⊥平面PAB，从而AD⊥PB，最后根据△PAB中，中线AE⊥PB且AE、AD是平面AEFD内的相交直线，证出PB⊥平面AEFD；
（II）分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，结合（I）求出的数据，得到A、B、C、D、E、F、P各点坐标，从而得到=（1，4，-1）和平面PAD的一个法向量=（2，0，0），利用空间两个向量的夹角公式算出与夹角的余弦之值，即为EC与平面PAD所成角的正弦值．
【解析】
（I）∵PA⊥平面ABCD，直线AB是PB在平面ABCD内的射影
∴∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，得Rt△PAB中，tan∠PBA==1，可得AB=AP=2
同理，∠PDA是PD与平面ABCD所成的角，得Rt△PAD中，tan∠PDA==，可得AD=2AP=4
∵PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴AD⊥PA
∵矩形ABCD中，AD⊥AB，且AD∩AP=A，∴AD⊥平面PAB
∵PB⊂平面PAB，∴AD⊥PB
又∵Rt△PAB中，AB=AP，且E为PB中点，∴PB⊥AE
∵AD、AE是平面AEFD内的相交直线，
∴PB⊥平面AEFD；       …（6分）
（II）分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
由（I）知AD=4、AB=2，则各点坐标分别是
A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），
P（0，0，2），
∴E（1，0，1），F（1，2，1），=（1，4，-1），
又∵AB⊥平面PAD，
∴平面PAD的一个法向量为==（2，0，0），
设直线EC与平面PAD所成的角为α，则
sinα===，
∴直线EC与平面PAD所成角的正弦值为．…（13分）