Question

已知sinα+sinβ=1，cosα+cosβ=．
（1）求cos（α-β）的值；
（2）求cos（α+β）的值．

Answer

（1）把已知两式平方相加，结合两角差的余弦公式可得；（2）两式平方相减可得cos2α+2cos（α+β）+cos2β=2，再利用整体角α+β，α-β表示式子中的角应用公式可得cos（α+β）cos（α-β）+cos（α+β）=1，把（1）的结果代入即可．
【解析】
（1）因为sinα+sinβ=1  ①cosα+cosβ= ②
两式平方相加可得：得sin2α+2sinαsinβ+sin2β+cos2α+2sinαsinβ+cos2β=4 （3分）
即2+2cos（α-β）=4，所以cos（α-β）=1；（6分）
（2）②2-①2得cos2α-sin2α+2cosαcosβ-2sinαsinβ+cos2β-sin2β=2
即cos2α+2cos（α+β）+cos2β=2  （8分）
故cos[（α+β）+（α-β）]+2cos（α+β）+cos[（α+β）-（α-β）]=2  （12分）
化简得cos（α+β）cos（α-β）+cos（α+β）=1，
由（1）得．（14分）