Question

在平面直角坐标系xOy中，已知圆C₁：（x-1）²+y²=16，圆C₂：（x+1）²+y²=1，点S为圆C₁上的一个动点，现将坐标平面折叠，使得圆心C₂（-1，0）恰与点S重合，折痕与直线SC₁交于点P．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）过动点S作圆C₂的两条切线，切点分别为M、N，求MN的最小值；
（3）设过圆心C₂（-1，0）的直线交圆C₁于点A、B，以点A、B分别为切点的两条切线交于点Q，求证：点Q在定直线上．

Answer

（1）由题意得|PC1|+|PC2|=|PC1|+|PS|=4＞|C1C2|，故P点的轨迹是以C1、C2为焦点，4为长轴长的椭圆，由此可求P点的轨迹方程；
（2）法1（几何法） 根据四边形SMC2N的面积=，可得，从而SC2取得最小值时，MN取得最小值；
法2（代数法） 设S（x，y），设出以SC2为直径的圆的标准方程，该方程与圆C2的方程相减得，求出圆心C2到直线MN的距离，，根据x∈[-3，5]，求得dmax=，从而可求求MN的最小值；
（3）设Q（m，n），求出“切点弦”AB的方程，将点（-1，0）代入，即可得到结论．
【解析】
（1）由题意得|PC1|+|PC2|=|PC1|+|PS|=4＞|C1C2|，故P点的轨迹是以C1、C2为焦点，4为长轴长的椭圆，
则2a=4，c=1，所以a=2，，故P点的轨迹方程是．（5分）
（2）法1（几何法） 四边形SMC2N的面积=，
所以，（9分）
从而SC2取得最大值时，MN取得最小值，显然当S（-3，0）时，SC2取得最大值2，
所以．（12分）
法2（代数法） 设S（x，y），则以SC2为直径的圆的标准方程为，
该方程与圆C2的方程相减得，（x+1）x+yy+x=0，（8分）
则圆心C2到直线MN的距离=，
因为，所以，从而，x∈[-3，5]，
故当x=-3时dmax=，
因为，所以=．（12分）
（3）设Q（m，n），则“切点弦”AB的方程为（m-1）（x-1）+ny=16，
将点（-1，0）代入上式得m=-7，n∈R，故点Q在定直线x=-7上．（16分）