Question

已知整数列{a_n}满足a₃=-1，a₇=4，前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求出所有的正整数m，使得a_m+a_m+1+a_m+2=a_ma_m+1a_m+2．

Answer

（1）由题意设数列前6项的公差为d，d为整数，表示出a5，a6，利用a5，a6，a7成等比数列，求出d，推出n≤6时等差数列的通项公式，n≥5数列{an}的通项公式；
（2）验证正整数m=1，2，3，4，时，等式am+am+1+am+2=amam+1am+2是否成立，m≥5时，验证等式的左边的值与右侧的值是否相同即可，得到结论．
解（1）设数列前6项的公差为d，d为整数，则a5=-1+2d，a6=-1+3d，d为整数，
又a5，a6，a7成等比数列，
所以（3d-1）3=4（2d-1），解得d=1，-------4分
当n≤4时，an=n-4，
由此a5=1，a6=2，数列第5项起构成以2为公比的等比数列．
当n≥5时，an=2n-5，
故通项公式为，-------------------------------------8分
（2）由（1）知数列{an}为：-3，-2，-1，0，1，2，4，8，16，…
当m=1时等式成立，即-3-2-1=-6=（-3）（-2）（-1）；等式成立．
当m=3时等式成立，即-1+0+1=0；等式成立．
当m=2、4时等式不成立；--------------------------------------------------12分
当m≥5时，即am+am+1+am+2=2m-5（23-1），amam+1am+2=23m-12．
所以am+am+1+am+2≠amam+1am+2．；
故所求的m=1，或m=3------------------------------------------------------15分