Question

已知函数f（x）=ax²+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件f（1-x）=f（1+x），且函数g（x）=f（x）-x只有一个零点，求函数f（x）的解析式．

Answer

函数f（x）=ax2+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件f（1-x）=f（1+x），可以求出f（x）的对称轴，再根据函数g（x）=f（x）-x只有一个零点，可以求出f（x）的解析式；
【解析】
∵函数f（x）=ax2+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件f（1-x）=f（1+x），
∴f（x）的对称轴为x==1，可得x=-=1①，
∵函数g（x）=f（x）-x只有一个零点，可得g（x）=ax2+（b-1）x，
∴△=（b-1）2-4a×0=0，可得b=1代入①得，
∴-=1，可得a=-，
∴f（x）=-x2+x；